原码-反码-补码

问题：byte类型的127加上1，得到的结果是-128

一、原码

  计算机只能存储、计算二进制数据，一个byte有8个字节。那要计算两个十进制的数据，需要先将十进制数据转换为二进制数据。
例十进制：

$7+1=8$

转换为二进制计算：8字节，高位补0

$0000 0111 + 0000 0001 = 0000 1000$

  对于正数的计算，这个没有问题。但是对于负数如何表示？再去维护一个符号用于表示负数的代价过于高昂，于是采用了在8字节的最高位表示为1用于表示负数，只用7位表示计数。于是 -1 表示为 $1000 0001$。对于正数，不需要额外的处理，反码就是源码本身。
例十进制：

$2-2=0$

反码的出现不仅表示了负数，而且还把减法可以表示为加上一个负数，从而不再需要设计减法计数器电路。但是计算会出现如下问题：

$0000 0010 + 1000 0010 = 1000 0100$

转换为二进制可知，计算的结果为-4，计算出现了问题。

二、反码

  为了解决这个问题，出现了反码。同样，正数的反码是其本身；对于负数，就是最高位的符号位不变，其余位置取反，例如-2​二进制是$1000 0010$，则其反码为$1111 1101$，
例十进制：

$2-2=0$

则二进制：

$0000 0010_{原码 } + 1000 0010_{原码 } \quad$

$0000 0010_{反码 } + 1111 1101_{反码 } = 1111 1111_{反码 }$

先转换为反码，再计算，得到的是反码的结果，但是要得到真正的结果，还需要再转为原码。

$1111 1111_{反码 } --> 1000 0000{原码 }$

结果为-0，可见，结果是正确的，但是出现-0的结果需要处理。

三、补码

  同样，为了解决出现-0的情况，出现了补码。同样,正数的补码是其本身；对于负数，负数的补码是其反码+1。例如，-2的二进制是$1000 0010$，则其反码为$1111 1101$，则其补码为$1111 1110$。
例十进制：

$2-2=0$

则二进制：

$0000 0010_{原码 } + 1000 0010_{原码 } \quad$

$0000 0010_{反码 } + 1111 1101_{反码 } = 1111 1111_{反码 }$

$0000 0010_{补码 } + 1111 1110_{补码 } = 0000 0000_{补码 }$

计算十进制结果：由于最高位是0，则表示正数，补码是原码本身，所以原码为$0000 0000$，结果为0

四、已知补码求原码

已知某补码为 1111 1110，求原码

1.正数：
  如果以0开头，则证明其为正数，原码就是补码本身，如 0000 0010的补码就是本身
2.负数：
  如果以1开头，则证明为负数，先 将最高位不变，其余7位取反。

$1111 1110_{补码 } -->取反 1000 0001$

  再+1，即可得到原码(-2)：

$1000 0001 + 0000 0001 = 1000 0010_{原码}$

五、普通结果验证

5-3与3-5

1.运算1：

5+ (-3) (省略了反码的计算步骤)

1. 原码：$0000 0101_{原码} + 1000 0011_{原码}$
2. 补码：$0000 0101_{补码} + 1111 1101_{补码} = 0000 0010_{补码}$
3. 结果：$0000 0010_{补码}$是正数，原码为本身，所以十进制为2.

2.运算2：

3+(-5) (省略了反码的计算步骤)

1. 原码：$0000 0011_{原码} + 1000 0101_{原码}$
2. 补码：$0000 0011_{补码} + 1111 1011_{补码} = 1111 1110_{补码}$
3. 结果：$1111 1110_{补码}$是负数，原码为最高位不变，其余位取反再加1，则为：$1000 0010$，结果为-2。

六、-128问题

byte类型127+1 = -128

1. 原码：$0111 1111 + 0000 0001$
2. 补码：$0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000$
3. 结果：-128没有原码与反码，只有补码，按照约定，补码为$1000 0000$则为-128。

七、延申：

  实际上，现代计算机中的逻辑计算电路，都是按照补码来进行存储的。所以实际的计算过程中，直接使用补码。